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TRIÁNGULOS
| DEFINICIONES |
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Triángulo es un
tipo de polígono (o figura plana y cerrada) que tiene
tres lados. |
El triángulo ilustrado en la
figura indica:
-
- Triángulo ABC
:
 ABC
- Lados
:
- Ángulos
:
|
| ELEMENTOS
DE UN TRIÁNGULO |
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| ELEMENTOS PRIMARIOS |
- Vértice : A , B , C - Lados : a , b , c
- Ángulos : 
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| ELEMENTOS SECUNDARIOS |
- Altura : ha , hb , hc
- Simetral : Sa , Sb
, Sc
- Mediana : ma , mb
, mc
- Bisectriz : ba , bb
, bc
- Transversal de gravedad : ta
, tb , tc
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| PROPIEDADES
DE SUS LADOS: a, b, c
|
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| La suma de dos de sus lados debe
ser mayor que el tercero. |
a + b > c y a + c > b y b + c
> a |
| La resta de dos de sus lados debe
ser menor que el tercero. |
a – b < c y a – c <
b y b – c < a |
Ejemplo:
Es posible construir un triángulo disponiendo de los lados
a = 10 [u], b = 5 [u] y c = 2 [u]
Solución:
Utilizando cualquiera de las propiedades ya sea de la suma o
resta es posible determinar si se puede construir un triángulo.
Seleccionando la propiedad de la suma tenemos, para los datos del
problema:
| Proposición
|
a = 10 , b
= 5 , c =2 |
| a + b
> c a + c > b
b +c > a |
10 + 5
> 2 , Verdadero
10 + 2 > 5 , Verdadero
5 + 2
> 10 , Falso |
De la tabla se deduce que existe una condición que no se
cumple.
Para que se pueda construir un triángulo todas las proposiciones
deben ser verdaderas.
Ejemplo: De la figura
se tiene que  ACD
= 120°, CBA
= 40°. Determinar los ángulos 
| CLASIFICACIÓN
DE LOS TRIÁNGULOS |
|
| Clasificación
según sus lados (a, b, c) |
Equilátero |
Todos los lados
iguales |
a = b = c |
| Isósceles |
Un lado distinto |
Ejemplos: a = b  c
 |
| Escaleno |
Todos los lados
desiguales |
 |
Clasificación
según sus ángulos interiores ( ) |
Acutángulo |
Tres ángulos
agudos |
< 90° |
| Rectángulo |
Un ángulo recto |
Ejemplos:
 = 90° |
| Obtusángulo |
Un ángulo obtuso
|
Ejemplos:
> 90° |
| ELEMENTOS SECUNDARIOS DE UN
TRIÁNGULO |
| ALTURAS (h) |
|
 |
Un
triángulo posee tres alturas ha , hb
, hc.
La
altura se obtiene al trazar una línea
perpendicular desde el vértice al lado opuesto o
a la prolongación de éste.
Las
alturas concurren a un mismo punto llamado ortocentro
(H)
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Acutángulo H (ortocentro se
ubica dentro del )
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| |
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|
Rectángulo H (ortocentro se
ubica en vértice C)
|
| |
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|
obtusángulo H (ortocentro
ubicado fuera del )
|
| TRANSVERSALES
DE GRAVEDAD (t) |
|
 |
Una transversal
de gravedad une un vértice con el punto medio del lado
opuesto.
Concurren
a un mismo punto, denominado centro de gravedad
del triángulo (T)
T se
ubica siempre dentro del triángulo.
En la
transversal de gravedad se cumple: 
|
| Bisectriz
(b) |
|
 |
Las
bisectrices dividen cada ángulo interno por la mitad.
Todas las bisectrices concurren a
un mismo punto que es el centro de una circunferencia
inscrita.
Este punto se denomina inscentro.
(P)
|
| Simetral
(S) |
|
 |
Las
simetrales son las perpendiculares trazadas en los puntos
medios de los lados.
Las tres simetrales concurren a un
punto que es el centro de la circunferencia circunscrita.
A este punto se le denomina circunscentro.
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| Mediana |
|
 |
Las medianas unen los puntos medios de los lados.
Las áreas
de cada triángulo parcial obtenido al trazar las
medianas, son iguales y cuatro veces menor que el área
del ABC.
Área(AFD=FBE=DFE=DEC)
Cada mediana es paralela al
lado opuesto.
Cada mediana mide la mitad
de su lado opuesto, o cada lado mide el doble que
su mediana paralela.
2
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| ÁREAS
EN TRIÁNGULOS |
| A : Área
; alturas : ha, hb, hc ;
lados : a, b, c |
 |
Fórmula general
 |
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Ejemplo 1: Calcular el área de un
triángulo sabiendo que la altura en B es igual a 20 metros y la
base  es 10
metros.
| Solución:
No se puede calcular el
área con la información existente debido a que la
altura (hb = 20 metros) y la base (c =
= 10 metros) conocida no son compatibles para el cálculo
del área.
|
 |
Ejemplo 2: Calcular el área de
un ABC cuya
altura en es igual a 3 metros y de base = 5 metros.
| PERÍMETRO EN TRIÁNGULOS |
|
 |
P : Perímetro es la suma de todos sus lados.
P = a + b + c
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| ÁREA
Y PERÍMETRO EN TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS |
 |
Área (A)
, altura (h) , Perímetro (P)
 P = 3a |
| En un equilátero
coinciden las: alturas, bisectrices, transversales de
gravedad y simetrales. |
| TRIÁNGULO RECTÁNGULO |
|
 |
Área : A Catetos
: a y b
Hipotenusa : c
Perímetro : P
|
| Área de
un triángulo rectángulo |
La fórmula de cálculo de área  también se
puede expresar como:
|
| Teorema
de Pitágoras |
Este teorema relaciona todos los lados de un
triángulo rectángulo. a2
+ b2 = c2
|
| Teorema de Euclides |
I |
a2 = cq
b2 = cp |
| II |
hc2 = pq |
La altura
(hc) también puede escribirse como: hc
=  |
| TRIÁNGULOS
RECTÁNGULOS DE INTERÉS |
 |
| TEOREMA
de Thales |
|
 |
Si un ángulo
es cortado por paralelas, se originan segmentos
proporcionales. |
| Dos triángulos
son semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente
iguales y sus lados respectivamente proporcionados. |
 |
Principal >> Triángulos
|
: 40°
+ 
=
180° (
= 180° (
: (De ec. 2) 
