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TRIANGULOS

DEFINICIONES
	Triángulo es un tipo de polígono (o figura plana y cerrada) que tiene tres lados.
El triángulo ilustrado en la figura indica: Triángulo ABC : ABC Lados : Ángulos :

ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO

ELEMENTOS PRIMARIOS

- Vértice : A , B , C

- Lados : a , b , c

- Ángulos :

ELEMENTOS SECUNDARIOS

- Altura : h_a , h_b , h_c

- Simetral : S_a , S_b , S_c

- Mediana : m_a , m_b , m_c

- Bisectriz : b_a , b_b , b_c

- Transversal de gravedad : t_a , t_b , t_c

PROPIEDADES DE SUS LADOS: a, b, c
La suma de dos de sus lados debe ser mayor que el tercero.	a + b > c y a + c > b y b + c > a
La resta de dos de sus lados debe ser menor que el tercero.	a – b < c y a – c < b y b – c < a

Ejemplo:

Es posible construir un triángulo disponiendo de los lados a = 10 [u], b = 5 [u] y c = 2 [u]

Solución:

Utilizando cualquiera de las propiedades ya sea de la suma o resta es posible determinar si se puede construir un triángulo.

Seleccionando la propiedad de la suma tenemos, para los datos del problema:

Proposición	a = 10 , b = 5 , c =2
a + b > c a + c > b b +c > a	10 + 5 > 2 , Verdadero 10 + 2 > 5 , Verdadero 5 + 2 > 10 , Falso

De la tabla se deduce que existe una condición que no se cumple.

Para que se pueda construir un triángulo todas las proposiciones deben ser verdaderas.

PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS
	ÁNGULOS INTERNOS:
	La suma de los ángulos internos suman 180°.
ÁNGULOS EXTERNOS:	Un triángulo externo es igual a la suma de los dos ángulos internos adyacentes.
La suma de los ángulos externos suman 360°.

Ejemplo: De la figura se tiene que ACD = 120°, CBA = 40°. Determinar los ángulos

Cálculo de

: + 40° + 120° = 180°

b) Cálculo de

: 40° +

= 180° (

= 140°) 120° +

= 180° (

= 60°)

c) Cálculo de

: (De ec. 2)

+ 140° + 60° = 360°

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS
Clasificación según sus lados (a, b, c)	Equilátero	Todos los lados iguales	a = b = c
	Isósceles	Un lado distinto	Ejemplos: a = b c
	Escaleno	Todos los lados desiguales
Clasificación según sus ángulos interiores ()	Acutángulo	Tres ángulos agudos	< 90°
	Rectángulo	Un ángulo recto	Ejemplos: = 90°
	Obtusángulo	Un ángulo obtuso	Ejemplos: > 90°

ELEMENTOS SECUNDARIOS DE UN TRIÁNGULO

ALTURAS (h)
	Un triángulo posee tres alturas h_a , h_b , h_c. La altura se obtiene al trazar una línea perpendicular desde el vértice al lado opuesto o a la prolongación de éste. Las alturas concurren a un mismo punto llamado ortocentro (H)
Acutángulo H (ortocentro se ubica dentro del )


Rectángulo H (ortocentro se ubica en vértice C)


obtusángulo H (ortocentro ubicado fuera del )

TRANSVERSALES DE GRAVEDAD (t)

Una transversal de gravedad une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

Concurren a un mismo punto, denominado centro de gravedad del triángulo (T)

T se ubica siempre dentro del triángulo.

En la transversal de gravedad se cumple:

Bisectriz (b)

Las bisectrices dividen cada ángulo interno por la mitad.

Todas las bisectrices concurren a un mismo punto que es el centro de una circunferencia inscrita.

Este punto se denomina inscentro. (P)

Simetral (S)

Las simetrales son las perpendiculares trazadas en los puntos medios de los lados.

Las tres simetrales concurren a un punto que es el centro de la circunferencia circunscrita. A este punto se le denomina circunscentro.

Mediana

Las medianas unen los puntos medios de los lados.

Las áreas de cada triángulo parcial obtenido al trazar las medianas, son iguales y cuatro veces menor que el área del ABC.

Área(AFD=FBE=DFE=DEC)

Cada mediana es paralela al lado opuesto.

Cada mediana mide la mitad de su lado opuesto, o cada lado mide el doble que su mediana paralela.

ÁREAS EN TRIÁNGULOS
A : Área ; alturas : h_a, h_b, h_c ; lados : a, b, c
	Fórmula general

Ejemplo 1: Calcular el área de un triángulo sabiendo que la altura en B es igual a 20 metros y la base es 10 metros.

Solución:

No se puede calcular el área con la información existente debido a que la altura (h_b = 20 metros) y la base (c = = 10 metros) conocida no son compatibles para el cálculo del área.

Ejemplo 2: Calcular el área de un ABC cuya altura en es igual a 3 metros y de base = 5 metros.

Solución:

Reemplazando:

PERÍMETRO EN TRIÁNGULOS

P : Perímetro es la suma de todos sus lados.

P = a + b + c

ÁREA Y PERÍMETRO EN TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS
	Área (A) , altura (h) , Perímetro (P) P = 3a
En un equilátero coinciden las: alturas, bisectrices, transversales de gravedad y simetrales.

TRIÁNGULO RECTÁNGULO
		Área : A Catetos : a y b Hipotenusa : c Perímetro : P
Área de un triángulo rectángulo	La fórmula de cálculo de área también se puede expresar como:
Teorema de Pitágoras	Este teorema relaciona todos los lados de un triángulo rectángulo. a² + b² = c²
Teorema de Euclides	I		a² = cq b² = cp
	II		h_c² = pq
La altura (h_c) también puede escribirse como: h_c =

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE INTERÉS

TEOREMA de Thales
		Si un ángulo es cortado por paralelas, se originan segmentos proporcionales.

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente iguales y sus lados respectivamente proporcionados.

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