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Probabilidad:
Introducción
La
probabilidad mide la frecuencia con la que aparece un resultado
determinado cuando se realiza un experimento.
Ejemplo:
tiramos un dado al aire y queremos saber cual es la probabilidad de
que salga un 2, o que salga un número par, o que salga un número
menor que 4.
El
experimento tiene que ser aleatorio,
es decir, que pueden presentarse diversos resultados, dentro de un
conjunto posible de soluciones, y esto aún realizando el experimento
en las mismas condiciones. Por lo tanto, a priori no se conoce cual
de los resultados se va a presentar:
Ejemplos:
lanzamos una moneda al aire: el resultado puede ser cara o cruz,
pero no sabemos de antemano cual de ellos va a salir.
En la Lotería de
Navidad, el "Gordo" (en España se llama "Gordo" al primer premio)
puede ser cualquier número entre el 1 y el 100.000, pero no sabemos
a priori cual va a ser (si lo supiéramos no estaríamos aquí
escribiendo esta lección).
Hay
experimentos que no son aleatorios
y por lo tanto no se les puede aplicar las reglas de la
probabilidad.
Ejemplo:
en lugar de tirar la moneda al aire, directamente selccionamos la
cara. Aquí no podemos hablar de probabilidades, sino que ha sido un
resultado determinado por uno mismo.
Antes de
calcular las probabilidades de un experimento aleaotorio hay que
definir una serie de conceptos:
Suceso
elemental:
hace referencia
a cada una de las posibles soluciones que se pueden presentar.
Ejemplo:
al lanzar una moneda al aire, los sucesos elementales son la cara y
la cruz. Al lanzar un dado, los sucesos elementales son el 1, el 2,
.., hasta el 6.
Suceso
compuesto:
es un subconjunto de sucesos elementales.
Ejemplo:
lanzamos un dado y queremos que salga un número par. El suceso
"numero par" es un suceso compuesto, integrado por 3 sucesos
elementales: el 2, el 4 y el 6
O, por ejemplo,
jugamos a la ruleta y queremos que salga "menor o igual que 18".
Este es un suceso compuesto formado por 18 sucesos elementales
(todos los números que van del 1 al 18).
Al conjunto
de todos los posibles sucesos elementales lo denominamos espacio
muestral. Cada experimento aleatorio tiene definido su espacio
muestral (es decir, un conjunto con todas las soluciones posibles).
Ejemplo:
si tiramos una moneda al aíre una sola vez, el espacio muestral será
cara o cruz.
Si el
experimento consiste en lanzar una moneda al aire dos veces,
entonces el espacio muestral estaría formado por (cara-cara),
(cara-cruz), (cruz-cara) y (cruz-cruz).
arriba
Probabilidad:
Relación entre sucesos
Entre los
sucesos compuestos se pueden establecer distintas relaciones:
a) Un
suceso puede estar contenido en otro:
las posibles soluciones del primer suceso también lo son del
segundo, pero este segundo suceso tiene además otras soluciones
suyas propias.
Ejemplo:
lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el número 6,
y b) que salga un número par. Vemos que el suceso a) está contenido
en el suceso b).
Siempre que se
da el suceso a) se da el suceso b), pero no al contrario. Por
ejemplo, si el resultado fuera el 2, se cumpliría el suceso b), pero
no el el a).
b) Dos
sucesos pueden ser iguales:
esto ocurre cuando siempre que se cumple uno de ellos se cumple
obligatoriamente el otro y viceversa.
Ejemplo:
lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga
número par, y b) que salga múltiplo de 2. Vemos que las soluciones
coinciden en ambos casos.
c) Unión
de dos o más sucesos:
la unión será otro suceso formado por todos los elementos de los
sucesos que se unen.
Ejemplo:
lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga
número par y b) que el resultado sea mayor que 3. El suceso unión
estaría formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el
6
d)
Intersección de sucesos:
es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de dos o más
sucesos que se intersectan.
Ejemplo:
lanzamos un dado al aire, y analizamos dos sucesos: a) que salga
número par, y b) que sea mayor que 4. La intersección de estos dos
sucesos tiene un sólo elemento, el número 6 (es el único resultado
común a ambos sucesos: es mayor que 4 y es número par).
e) Sucesos
incompatibles:
son aquellos que no se pueden dar al mismo tiempo ya que no tienen
elementos comunes (su interesección es el conjunto vacio).
Ejemplo:
lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un
número menor que 3, y b) que salga el número 6. Es evidente que
ambos no se pueden dar al mismo tiempo.
f) Sucesos
complementarios:
son aquellos que si no se da uno, obligatoriamente se tiene que dar
el otro.
Ejemplo:
lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un
número par, y b) que salga un número impar. Vemos que si no se da el
primero se tiene que dar el segundo (y viceversa).
arriba
Cálculo de
probabilidades
Probabilidad
Como hemos
comentado anteriormente, la probabilidad mide la mayor o menor
posibilidad de que se dé un determinado resultado (suceso) cuando se
realiza un experimento aleatorio.
La
probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por
ciento, entre 0% y 100%):
El valor cero
corresponde al suceso imposible:
lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga el número 7
es cero (al menos, si es un dado certificado por la OMD,
"Organización Mundial de Dados").
El valor uno
corresponde al suceso seguro:
lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier
número del 1 al 6 es igual a uno (100%).
El resto de
sucesos tendrá probabilidades entre cero y uno:
que será tanto mayor cuanto más probable sea que dicho suceso tenga
lugar.
arriba
¿Cómo se
mide la probabilidad?
Uno de los
métodos más utilizados es aplicando la
Regla de Laplace:
define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos
favorables y casos posibles.
P(A) = Casos
favorables / casos posibles
Veamos
algunos ejemplos:
a) Probabilidad
de que al lanzar un dado salga el número 2:
el caso favorable es tan sólo uno (que salga el dos), mientras que
los casos posibles son seis (puede salir cualquier número del uno al
seis). Por lo tanto:
P(A) = 1 / 6 =
0,166 (o lo que es lo mismo, 16,6%)
b) Probabilidad
de que al lanzar un dado salga un número par:
en este caso los casos favorables son tres (que salga el dos, el
cuatro o el seis), mientras que los casos posibles siguen siendo
seis. Por lo tanto:
P(A) = 3 / 6 =
0,50 (o lo que es lo mismo, 50%)
c) Probabilidad
de que al lanzar un dado salga un número menor que 5:
en este caso tenemos cuatro casos favorables (que salga el uno, el
dos, el tres o el cuatro), frente a los seis casos posibles. Por lo
tanto:
P(A) = 4 / 6 =
0,666 (o lo que es lo mismo, 66,6%)
d) Probabilidad
de que nos toque el "Gordo" de Navidad:
tan sólo un caso favorable, el número que jugamos (¡qué triste...¡),
frente a 100.000 casos posibles. Por lo tanto:
P(A) = 1 /
100.000 = 0,00001 (o lo que es lo mismo, 0,001%)
Merece la pena
...... Por cierto, tiene la misma probabilidad el número 45.264, que
el número 00001, pero ¿cuál de los dos comprarías?
Para poder
aplicar la Regla de Laplace el experimento aleatorio tiene
que cumplir dos requisitos:
a) El número de
resultados posibles (sucesos) tiene que ser finito.
Si hubiera
infinitos resultados, al aplicar la regla "casos favorables / casos
posibles" el cociente siempre sería cero.
b) Todos los
sucesos tienen que tener la misma probabilidad.
Si al lanzar un
dado, algunas caras tuvieran mayor probabilidad de salir que otras,
no podríamos aplicar esta regla.
A la regla de
Laplace también se le denomina "probabilidad a priori", ya
que para aplicarla hay que conocer antes de realizar el experimento
cuales son los posibles resultados y saber que todos tienen las
mismas probabilidades.
¿Y si el
experimento aleatorio no cumple los dos requisitos indicados, qué
hacemos?, ¿ponemos una denuncia?
No, no va a
ser necesario denunciar a nadie, ya que en este caso podemos acudir
a otro modelo de cálculo de probabilidades que se basa en la
experiencia (modelo frecuentista):
Cuando se
realiza un experimento aleatorio un número muy elevado de veces, las
probabilidades de los diversos posibles sucesos empiezan a converger
hacia valores determinados, que son sus respectivas probabilidades.
Ejemplo:
si lanzo una vez una moneda al aire y sale "cara", quiere decir que
el suceso "cara" ha aparecido el 100% de las veces y el suceso
"cruz" el 0%.
Si lanzo diez
veces la moneda al aire, es posible que el suceso "cara" salga 7
veces y el suceso "cruz" las 3 restantes. En este caso, la
probabilidad del suceso "cara" ya no sería del 100%, sino que se
habría reducido al 70%.
Si repito este
experimento un número elevado de veces, lo normal es que las
probabilidades de los sucesos "cara" y "cruz" se vayan aproximando
al 50% cada una. Este 50% será la probabilidad de estos sucesos
según el modelo frecuentista.
En este
modelo ya no será necesario que el número de soluciones sea finito,
ni que todos los sucesos tengan la misma probabilidad.
Ejemplo:
si la moneda que utilizamos en el ejemplo anterior fuera defectuosa
(o estuviera trucada), es posible que al repetir dicho experimento
un número elevado de veces, la "cara" saliera con una frecuencia,
por ejemplo, del 65% y la "cruz" del 35%. Estos valores serían las
probabilidades de estos dos sucesos según el modelo frecuentista.
A esta
definición de la probabilidad se le denomina probabilidad a
posteriori, ya que tan sólo repitiendo un experimento un número
elevado de veces podremos saber cual es la probabilidad de cada
suceso.
arriba
Probabilidad
de sucesos
Probabilidad de sucesos
Al definir
los sucesos hablamos de las diferentes relaciones que pueden guardar
dos sucesos entre sí, así como de las posibles relaciones que se
pueden establecer entre los mismos. Vamos a ver ahora cómo se
refleja esto en el cálculo de probabilidades.
a) Un
suceso puede estar contenido en otro:
entonces, la probabilidad del primer suceso será menor que la del
suceso que lo contiene.
Ejemplo:
lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el número 6,
y b) que salga un número par. Dijimos que el suceso a) está
contenido en el suceso b).
P(A) = 1/6 =
0,166
P(B) = 3 / 6 =
0,50
Por lo tanto,
podemos ver que la probabilidad del suceso contenido, suceso a), es
menor que la probabilidad del suceso que lo contiene, suceso b).
b) Dos
sucesos pueden ser iguales:
en este caso, las probabilidades de ambos sucesos son las mismas.
Ejemplo:
lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga
número par, y b) que salga múltiplo de 2. Las soluciones coinciden
en ambos casos.
P(A) = 3 / 6 =
0,50
P(B) = 3 / 6 =
0,50
c)
Intersección de sucesos:
es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de los dos o más
sucesos que se intersectan. La probabilidad será igual a la
probabilidad de los elemntos comunes.
Ejemplo:
lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga
número par, y b) que sea mayor que 3. La intersección de estos dos
sucesos tiene dos elementos: el 4 y el 6.
Su
probabilidad será por tanto:
P(A
L
B) = 2 / 6 = 0,33
d) Unión
de dos o más sucesos:
la probabilidad de la unión de dos sucesos es igual a la suma de las
probabilidades individuales de los dos sucesos que se unen, menos la
probabilidad del suceso intersección
Ejemplo:
lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga
número par, y b) que el resultado sea mayor que 3. El suceso unión
estaría formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el
6.
P(A) = 3 / 6 =
0,50
P(B) = 3 / 6 =
0,50
P (A
L
B) = 2 / 6 = 0,33
Por lo tanto,
P (A u B) =
(0,50 + 0,50) - 0,33 = 0,666
e) Sucesos
incompatibles:
la probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles será igual
a la suma de las probabilidades de cada uno de los sucesos (ya que
su intersección es el conjunto vacio y por lo tanto no hay que
restarle nada).
Ejemplo:
lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un
número menor que 3, y b) que salga el número 6.
La
probabilidad del suceso unión de estos dos sucesos será igual a:
P(A) = 2 / 6 =
0,333
P(B) = 1 / 6 =
0,166
Por lo tanto,
P(A u B) = 0,33
+ 0,166 = 0,50
f) Sucesos
complementarios:
la probabilidad de un suceso complementario a un suceso (A) es igual
a 1 - P(A)
Ejemplo:
lanzamos un dado al aire. el suceso (A) es que salga un número par,
luego su complementario, suceso (B), es que salga un número impar.
La probabilidad
del suceso (A) es igual a :
P(A) = 3 / 6 =
0,50
Luego, la
probabilidad del suceso (B) es igual a:
P(B) = 1 - P(A)
= 1 - 0,50 = 0,50
Se puede
comprobar aplicando la regla de "casos favorables / casos posibles":
P(B) = 3 / 6 =
0,50
g) Unión de sucesos complementarios: la probabilidad de la
unión de dos sucesos complementarios es igual a 1.
Ejemplo:
seguimos con el ejemplo anterior: a) que salga un número par, y b)
que salga un número impar. La probabilidad del suceso unión de estos
dos sucesos será igual a:
P(A) = 3 / 6 =
0,50
P(B) = 3 / 6 =
0,50
Por lo tanto,
P(A
U
B) = 0,50 + 0,50 = 1
arriba
Combinaciones,
Variaciones y Permutaciones (I)
Para
aplicar la Regla de Laplace, el cálculo de los sucesos
favorables y de los sucesos posibles a veces no plantea ningún
problema, ya que son un número reducido y se pueden calcular con
facilidad:
Por ejemplo:
Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2. Tan sólo
hay un caso favorable, mientras que los casos posibles son seis.
Probabilidad de
acertar al primer intento el horóscopo de una persona. Hay un caso
favorable y 12 casos posibles.
Sin embargo, a
veces calcular el número de casos favorables y casos posibles es
complejo y hay que aplicar reglas matemáticas:
Por ejemplo:
5 matrimonios se sientan aleatoriamente a cenar y queremos calcular
la probabilidad de que al menos los miembros de un matrimonio se
sienten junto. En este caso, determinar el número de casos
favorables y de casos posibles es complejo.
Las reglas
matemáticas que nos pueden ayudar son el cálculo de combinaciones,
el cálculo de variaciones y el cálculo de permutaciones.
a) Combinaciones:
Determina el
número de subgrupos de 1, 2, 3, etc. elementos que se pueden formar
con los "n" elementos de una nuestra. Cada subgrupo se diferencia
del resto en los elementos que lo componen, sin que influya el
orden.
Por ejemplo,
calcular las posibles combinaciones de 2 elementos que se pueden
formar con los números 1, 2 y 3.
Se pueden
establecer 3 parejas diferentes: (1,2), (1,3) y (2,3). En el cálculo
de combinaciones las parejas (1,2) y (2,1) se consideran idénticas,
por lo que sólo se cuentan una vez.
b) Variaciones:
Calcula el número
de subgrupos de 1, 2, 3, etc.elementos que se pueden establecer con
los "n" elementos de una muestra. Cada subgrupo se diferencia del
resto en los elementos que lo componen o en el orden de dichos
elementos (es lo que le diferencia de las combinaciones).
Por ejemplo,
calcular las posibles variaciones de 2 elementos que se pueden
establecer con los número 1, 2 y 3.
Ahora tendríamos
6 posibles parejas: (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1) y (3,3). En
este caso los subgrupos (1,2) y (2,1) se consideran distintos.
c) Permutaciones:
Cálcula las
posibles agrupaciones que se pueden establecer con todos los
elementos de un grupo, por lo tanto, lo que diferencia a cada
subgrupo del resto es el orden de los elementos.
Por ejemplo,
calcular las posibles formas en que se pueden ordenar los número 1,
2 y 3.
Hay 6 posibles
agrupaciones: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)
y (3, 2, 1)
arriba
Combinaciones,
Variaciones y Permutaciones (II)
¿Cómo
se calculan?
a) Combinaciones:
Para calcular el
número de combinaciones se aplica la siguiente fórmula:
El termino " n
! " se denomina "factorial de n" y es la multiplicación de todos
los números que van desde "n" hasta 1.
Por ejemplo:
4 ! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
La expresión "Cm,n"
representa las combinaciones de "m" elementos, formando subgrupos de
"n" elementos.
Ejemplo:
C10,4
son las
combinaciones de 10 elementos agrupándolos en subgrupos de 4
elementos:
Es decir,
podríamos formar 210 subgrupos diferentes de 4 elementos, a partir
de los 10 elementos.
b) Variaciones:
Para calcular el
número de variaciones se aplica la siguiente fórmula:
La expresión
"Vm,n"
representa las variaciones de "m" elementos, formando subgrupos de
"n" elementos. En este caso, como vimos en la lección anterior, un
subgrupo se diferenciará del resto, bien por los elementos que lo
forman, o bien por el orden de dichos elementos.
Ejemplo:
V10,4
son las
variaciones de 10 elementos agrupándolos en subgrupos de 4
elementos:
Es decir,
podríamos formar 5.040 subgrupos diferentes de 4 elementos, a partir
de los 10 elementos.
c) Permutaciones:
Para calcular el
número de permutaciones se aplica la siguiente fórmula:
La expresión "Pm"
representa las permutaciones de "m" elementos, tomando todos los
elementos. Los subgrupos se diferenciaran únicamente por el orden de
los elementos.
Ejemplo:
P10
son las
permutaciones de 10 elementos:
Es decir,
tendríamos 3.628.800 formas diferentes de agrupar 10 elementos.
arriba
Combinaciones,
Variaciones y Permutaciones (III)
Vamos
a analizar ahora que ocurriría con el cálculo de las combinaciones,
de las variaciones o de las permutaciones en el supuesto de
que al formar los subgrupos los elementos pudieran repetirse.
Por ejemplo:
tenemos bolas de 6 colores diferentes y queremos formar subgrupos en
los que pudiera darse el caso de que 2, 3, 4 o todas las bolas del
subgrupo tuvieran el mismo color. En este caso no podríamos utilizar
las fórmulas que vimos en la lección anterior.
a) Combinaciones
con repetición:
Para calcular el
número de combinaciones con repetición se aplica la siguiente
fórmula:
Ejemplo:
C'10,4
son las
combinaciones de 10 elementos con repetición, agrupándolos en
subgrupos de 4, en los que 2, 3 o los 4 elementos podrían estar
repetidos:
Es decir,
podríamos formar 715 subgrupos diferentes de 4 elementos.
b) Variaciones
con repetición:
Para calcular el
número de variaciones con repetición se aplica la siguiente fórmula:
Ejemplo:
V'10,4
son las
variaciones de 10 elementos con repetición, agrupándolos en
subgrupos de 4 elementos:
Es decir,
podríamos formar 10.000 subgrupos diferentes de 4 elementos.
c) Permutaciones
con repetición:
Para calcular el
número de permutaciones con repetición se aplica la siguiente
fórmula:
Son permutaciones
de "m" elementos, en los que uno de ellos se repite " x1
" veces, otro " x2
" veces y así ... hasta uno que se repite " xk
" veces.
Ejemplo:
Calcular
las permutaciones de 10 elementos, en los que uno de ellos se repite
en 2 ocasiones y otro se repite en 3 ocasiones:
Es decir,
tendríamos 302,400 formas diferentes de agrupar estos 10 elementos.
Ejercicios
1.-
Ejercicio
Calcular la
probabilidad de acertar los 14 signos de la quiniela:
Solución:
Se aplica la
Regla de Laplace (casos favorables / casos posibles). El caso
favorable es tan sólo uno (acertar los 14 signos). Los casos
posibles se calculan como variaciones con repetición de 3 elementos
(1, X y 2), tomados de 14 en 14 (los signos que hay que rellenar).
Son variaciones y
no combinaciones ya que el orden influye: no es lo mismo (1,1,X) que
(1, X, 1). Y son con repetición, ya que cualquiera de los signos (1,
X y 2) se puede repetir hasta 14 veces.
Por lo tanto, los
casos posibles son:
Y la probabilidad
de acertar los 14 resultados es:
No demasiado
elevada....pero el que la sigue la consigue.
2.- Ejercicio
Y la probabilidad
de acertar 12 signos de la quiniela:
Solución:
Aplicamos
nuevamente la Regla de Laplace. En este caso los casos
favorables se calculan como combinaciones de 14 elementos
tomados de 2 en 2, de esta manera obtenemos todas las posibles
alternativas de fallar 2 resultados de 14 (lo que equivale a acertar
12 resultados). Utilizamos combinaciones y no variaciones ya que el
orden no importa (da lo mismo fallar el 3º y el 6º, que el 6º y el
3º)
Los casos
posibles siguen siendo los mismos:
Por lo que la
probabilidad de acertar 12 resultados es:
Por lo tanto,
tenemos más probabilidades de acertar 12 resultados que 14 (¿será
por eso por lo que pagan menos?).
3.- Ejercicio
Calcular la
probabilidad de, en una carrera de 12 caballos, acertar los 3 que
quedan primeros (sin importar cual de ellos queda primero, cual
segundo y cual tercero).
Solución:
Se aplica la
Regla de Laplace. El caso favorable es tan sólo uno: los
3 caballos que entran en primer lugar. Los casos posibles se
calculan como combinaciones de 12 elementos tomados de 3 en 3 (es
decir, determinamos todos las posibles alternativas de 3 caballos
que pueden entrar en las 3 primeras posiciones). Como el orden de
estos 3 primeros caballos no importa, utilizamos combinaciones en
lugar de variaciones.
Por lo tanto, los
casos posibles son:
Por lo que la
probabilidad de acertar los 3 caballos ganadores es:
Algo mayor que en
las quinielas.... Eso sí, se paga menos.
4.- Ejercicio
Y si hubiera que
acertar, no sólo los 3 caballos que ganan, sino el orden de su
entrada en meta.
Solución:
El caso
favorable sigue siendo uno: los 3 caballos que entran en primer
lugar, colocados en su orden correspondiente.
Los casos
posibles se calculan ahora como variaciones (ya que el orden
influye) de 12 elementos tomados de 3 en 3 (calculamos todas las
posibles maneras en que los 12 caballos podrían ocupar las 3
primeras posiciones.
Por lo que la
probabilidad de acertar los 3 caballos ganadores es:
Menor que en el
ejemplo 3º. Ya no vale acertar que 3 caballos entran en primer
lugar, sino que tenemos que acertar el orden de su entrada.
arriba
Probabilidad
condicionada
Las
probabilidades condicionadas se calculan una vez que se ha
incorporado información adicional a la situación de partida:
Ejemplo:
se tira un dado y sabemos que la probabilidad de que salga un 2 es
1/6 (probabilidad a priori). Si incorporamos nueva información (por
ejemplo, alguien nos dice que el resultado ha sido un número par)
entonces la probabilidad de que el resultado sea el 2 ya no es 1/6.
Las
probabilidades condicionadas se calculan aplicando la siguiente
fórmula:
Donde:
P (B/A)
es la probabilidad de que se de el suceso B condicionada a que se
haya dado el suceso A.
P (B
L A)
es la probabilidad del suceso simultáneo de A y de B
P (A)
es la probabilidad a priori del suceso A
En el ejemplo
que hemos visto:
P (B/A)
es la probabilidad de que salga el número 2 (suceso B) condicionada
a que haya salido un número par (suceso A).
P (B
L A)
es la probabilidad de que salga el dos y número par.
P (A)
es la probabilidad a priori de que salga un número par.
Por lo tanto:
P (B
L A) = 1/6
P (A) = 1/2
P (B/A) = (1/6) /
(1/2) = 1/3
Luego, la
probabilidad de que salga el número 2, si ya sabemos que ha salido
un número par, es de 1/3 (mayor que su probabilidad a priori de
1/6).
2º ejemplo:
En un estudio
sanitario se ha llegado a la conclusión de que la probabilidad de
que una persona sufra problemas coronarios (suceso B) es el 0,10
(probabilidad a priori).
Además, la
probabilidad de que una persona sufra problemas de obesidad (suceso
A) es el 0,25 y la probabilidad de que una persona sufra a la vez
problemas de obesidad y coronarios (suceso intersección de A y B) es
del 0,05.
Calcular la
probabilidad de que una persona sufra problemas coronarios si está
obesa (probabilidad condicionada P(B/A)).
P (B
L A) =
0,05
P (A) = 0,25
P (B/A) = 0,05 /
0,25 = 0,20
Por lo tanto, la
probabilidad condicionada es superior a la probabilidad a priori. No
siempre esto es así, a veces la probabilidad condicionada es igual a
la probabilidad a priori o menor.
Por ejemplo:
probabilidad de que al tirar un dado salga el número 2, condicionada
a que haya salido un número impar.
La probabilidad
condicionada es en este caso cero, frente a una probabilidad a
priori de 1/6.
arriba
Probabilidad
compuesta
La
probabilidad compuesta (o regla de multiplicación de
probabilidades) se deriva de la probabilidad condicionada:
La probabilidad
de que se den simultáneamente dos sucesos (suceso intersección de A
y B) es igual a la probabilidad a priori del suceso A multiplicada
por la probabilidad del suceso B condicionada al cumplimiento del
suceso A.
La fórmula
para calcular esta probabilidad compuesta es:
Ejemplo 1º
: Estudiamos
el suceso A (porcentaje de varones mayores de 40 años casados) y el
suceso B (varones mayores de 40 años con más de 2 hijos) y obtenemos
la siguiente información:
Un 35% de los
varones mayores de 40 años están casados.
De los varones
mayores de 40 años y casados, un 30% tienen más de 2 hijos (suceso B
condicionado al suceso A).
Calcular la
probabilidad de que un varón mayor de 40 años esté casado y tenga
más de 2 hijos
(suceso intersección de A y B).
Por lo tanto:
P (A) = 0,35
P (B/A) = 0,30
P (A
L B) =
0,35 * 0,30 = 0,105
Es decir, un
10,5% de los varones mayores de 40 años están casados y tienen más
de 2 hijos.
2º ejemplo:
Estudiamos el suceso A (alumnos que hablan inglés) y el suceso B
(alumnos que hablan alemán) y obtenemos la siguiente información:
Un 50% de los
alumnos hablan inglés.
De los alumnos
que hablan inglés, un 20% hablan también alemán (suceso B
condicionado al suceso A).
Calcular la
probabilidad de que un alumno hable inglés y alemán
(suceso intersección de A y B).
Por lo tanto:
P (A) = 0,50
P (B/A) = 0,20
P (A
L B) =
0,50 * 0,20 = 0,10
Es decir, un 10%
de los alumnos hablan inglés y alemán.
arriba
Teorema de la
probabilidad total
El
Teorema de la probabilidad total nos permite calcular la
probabilidad de un suceso a partir de probabilidades condicionadas:
Ejemplo:
supongamos
que si llueve la probabilidad de que ocurra un accidentes es x% y si
hace buen tiempo dicha probabilidad es y%. Este teorema nos permite
deducir cuál es la probabilidad de que ocurra un accidente si
conocemos la probabilidad de que llueva y la probabilidad de que
haga buen tiempo.
La fórmula
para calcular esta probabilidad es:
Es decir, la
probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que
ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una
de las probabilidades condicionadas de este suceso con los
diferentes sucesos A (probabilidad de un accidente cuando llueve y
cuando hace buen tiempo) por la probabilidad de cada suceso A.
Para que este
teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito:
Los sucesos A
tienen que formar un sistema completo,
es decir, que contemplen todas las posibilidades (la suma de sus
probabilidades debe ser el 100%).
Ejemplo:
al tirar una moneda, el suceso "salir cara" y el suceso "salir cruz"
forman un sistema completo, no hay más alternativas: la suma de sus
probabilidades es el 100%
Ejemplo:
al tirar un dado, que salga el 1, el 2, el 3, o el 4 no forman un
sistema completo, ya que no contempla todas las opciones (podría
salir el 5 o el 6). En este caso no se podría aplicar el teorema de
la probabilidad total.
Ejercicio 1º:
En un saquito hay papeletas de tres colores, con las siguientes
probabilidades de ser elegidas:
a) Amarilla:
probabilidad del 50%.
b) Verde:
probabilidad del 30%
c) Roja:
probabilidad del 20%.
Según el color de
la papeleta elegida, podrás participar en diferentes sorteos. Así,
si la papeleta elegida es:
a) Amarilla:
participas en un sorteo con una probabilidad de ganar del 40%.
b) Verde:
participas en otro sorteo con una probabilidad de ganar del 60%
c) Roja:
participas en un tercer sorteo con una probabilidad de ganar del
80%.
Con esta
información, ¿qué probabilidad tienes de ganar el sorteo en el
que participes?:
1.- Las tres
papeletas forman un sistema completo: sus probabilidades suman 100%
2.- Aplicamos la
fórmula:
Luego,
P (B) = (0,50 *
0,40) + (0,30 * 0,60) + (0,20 * 0,80) = 0,54
Por tanto, la
probabilidad de que ganes el sorteo es del 54%.
Ejercicio 2º:
Van a cambiar a tu jefe y se barajan diversos candidatos:
a) Carlos,
con una probabilidad del 60%
b) Juan,
con una probabilidad del 30%
c) Luis,
con una probabilidad del 10%
En función de
quien sea tu próximo jefe, la probabilidad de que te suban el sueldo
es la siguiente:
a) Si sale
Carlos:
la probabilidad de que te suban el sueldo es del 5%.
b) Si sale Juan:
la probabilidad de que te suban el sueldo es del 20%.
c) Si sale Luis:
la probabilidad de que te suban el sueldo es del 60%.
En definitiva,
¿cual es la probabilidad de que te suban el sueldo?:
1.- Los tres
candidatos forman un sistema completo
2.- Aplicamos la
fórmula:
P (B) = (0,60 *
0,05) + (0,30 * 0,20) + (0,10 * 0,60) = 0,15
Por tanto, la
probabilidad de que te suban el sueldo es del 15%. Lo llevas claro
amigo...
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Teorema
de Bayes
El Teorema de
Bayes viene a seguir el proceso inverso al que hemos
visto en el Teorema de la probabilidad total:
Teorema de la
probabilidad total:
a partir de las
probabilidades del suceso A (probabilidad de que llueva o de que
haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra
un accidente).
Teorema de Bayes:
a
partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente)
deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía
buen tiempo?).
La fórmula
del Teorema de Bayes es:
Tratar de
explicar estar fórmula con palabras es un galimatías, así que vamos
a intentar explicarla con un ejemplo. De todos modos, antes de
entrar en el ejercicio, recordar que este teorema también exige
que el
suceso A forme un sistema completo.
Ejercicio 1º:
El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin
de semana:
a) Que llueva:
probabilidad del 50%.
b) Que nieve:
probabilidad del 30%
c) Que haya
niebla:
probabilidad del 20%.
Según estos
posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un
accidente es la siguiente:
a) Si llueve:
probabilidad de accidente del 10%.
b) Si nieva:
probabilidad de accidente del 20%
c) Si hay niebla:
probabilidad de accidente del 5%.
Resulta que
efectivamente ocurre un accidente y como no estabamos en la ciudad
no sabemos que tiempo hizo (nevó, llovío o hubo niebla). El teorema
de Bayes nos permite calcular estas probabilidades:
Las
probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un
accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia con
el 60%, nieve con el 30% y niebla con el 10%).
Una vez que
incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las
probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades
condicionadas P (A/B), que se denominan "probabilidades a
posteriori".
Vamos a aplicar
la fórmula:
a)
Probabilidad de
que estuviera lloviendo:
La probabilidad
de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente
(probabilidad a posteriori) es del 71,4%.
b)
Probabilidad de
que estuviera nevando:
La probabilidad
de que estuviera nevando es del 21,4%.
c)
Probabilidad de
que hubiera niebla:
La probabilidad
de que hubiera niebla es del 7,1%.
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Independencia
de sucesos
Dos
sucesos son independientes entre sí, si la ocurrencia de uno
de ellos no afecta para nada a la ocurrencia del otro:
Ejemplo:
el suceso
estatura de los alumnos de una clase y el color del pelo son
independientes: el que un alumno sea más o menos alto no va a
influir en el color de su cabello, ni viceversa.
Para que dos
sucesos sean independientes tienen que verificar al menos una de las
siguientes condiciones:
P (B/A) = P (B)
es decir, que la probabilidad de que se de el suceso B, condicionada
a que previamente se haya dado el suceso A, es exactamente igual a
la probabilidad de B.
Ejemplo:
la probabilidad de que al tirar una moneda salga cara (suceso B),
condicionada a que haga buen tiempo (suceso A), es igual a la propia
probabilidad del suceso B.
P (A/B) = P (A)
es decir, que la probabilidad de que se de el suceso A, condicionada
a que previamente se haya dado el suceso B, es exactamente igual a
la probabilidad de A.
Ejemplo:
la probabilidad de que haga buen tiempo (suceso A), condicionada a
que al tirar una moneda salga cara (suceso B), es igual a la propia
probabilidad del suceso A.
P (A
L B) =
P (A) * P (B)
es decir, que la
probabilidad de que se de el suceso conjunto A y B es exactamente
igual a la probabilidad del suceso A multiplicada por la
probabilidsad del suceso B.
Ejemplo:
la probabilidad de que haga buen tiempo (suceso A) y salga cara al
tirar una moneda (suceso B), es igual a la probabilidad del suceso A
multiplicada por la probabilidad del suceso B
Si el suceso A
es independiente del suceso B, entonces el suceso B
también es independiente del suceso A.
Ejemplo 1º:
analicemos dos sucesos:
Suceso A:
la probabilidad de que haga buen tiempo es del 0,4
Suceso B:
la probabilidad de tener un accidente es del 0,1
Suceso
intersección:
la probabilidad de que haga buen tiempo y tener un accidente es del
0,08
Veamos si se
cumple alguna de las condiciones señaladas:
P (B/A) = P (A
L B) / P
(A) = 0,08 / 0,4 = 0,2 (que no es igual a P (B))
P (A/B) = P (A
L B) / P
(B) = 0,08 / 0,6 = 0,133 (que no es igual a P (A))
P (A
L B) =
0,08 (que no es igual a P (A) multiplicado por P (B))
Por lo tanto, no
se cumple ninguna de las tres condiciones señaladas por lo que
estos dos sucesos no son independientes, sino que existe algún
grado de dependencia entre ellos.
Ejemplo 2º:
analicemos dos sucesos:
Suceso A:
la probabilidad de que haga buen tiempo es del 0,4
Suceso B:
la probabilidad de salir cara al lanzar una moneda es del 0,5
Suceso
intersección:
la probabilidad de que haga buen tiempo y que salga cara es 0,2
Veamos si se
cumple alguna de las condiciones señaladas:
P (B/A) = P (A
L B) / P
(A) = 0,2 / 0,4 = 0,5 (igual que P (B))
P (A/B) = P (A
L B) / P
(B) = 0,2 / 0,6 = 0,4 (igual que P (A))
P (A
L B) = 0,2
(igual a P (A) multiplicado por P (B))
Por lo tanto,
estos dos sucesos sí son independientes.
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