Triángulos

DEFINICIONES  
Triángulo es un tipo de polígono (o figura plana y cerrada) que tiene tres lados. 
El triángulo ilustrado en la figura indica: 
    • Triángulo ABC       : ABC
    • Lados                     : 
    • Ángulos                  : 
ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO  
ELEMENTOS PRIMARIOS - Vértice : A , B , C 

- Lados : a , b , c 

- Ángulos : 
ELEMENTOS SECUNDARIOS - Altura : ha , hb , hc 

- Simetral : Sa , Sb , Sc 

- Mediana : ma , mb , mc 

- Bisectriz : ba , bb , bc 

- Transversal de gravedad : ta , tb , tc
PROPIEDADES DE SUS LADOS:

a, b, c

  
La suma de dos de sus lados debe ser mayor que el tercero. a + b > c y a + c > b y b + c > a
La resta de dos de sus lados debe ser menor que el tercero. a – b < c y a – c < b y b – c < a

Ejemplo:

            Es posible construir un triángulo disponiendo de los lados   a = 10 [u], b = 5 [u] y c = 2 [u]

Solución:

            Utilizando cualquiera de las propiedades ya sea de la suma o resta es posible determinar si se puede construir un triángulo.

            Seleccionando la propiedad de la suma tenemos, para los datos del problema:

Proposición a = 10 , b = 5 , c =2
a + b > c   a + c > b   b +c > a 10 + 5 > 2 , Verdadero   10 + 2 > 5 , Verdadero    5 + 2 > 10 , Falso

        De la tabla se deduce que existe una condición que no se cumple.

        Para que se pueda construir un triángulo todas las proposiciones deben ser verdaderas.

PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS  
ÁNGULOS INTERNOS: 
La suma de los ángulos internos suman 180°. 

   
ÁNGULOS EXTERNOS:  Un triángulo externo es igual a la suma de los dos ángulos internos adyacentes. 
La suma de los ángulos externos suman 360°. 

   

Ejemplo: De la figura se tiene que ACD = 120°, CBA = 40°. Determinar los ángulos 

 
  1. Cálculo de 

:  + 40° + 120° = 180°   

b) Cálculo de :  40° +  = 180° ( = 140°) 120° +  = 180° ( = 60°)
c) Cálculo de : (De ec. 2) 

   + 140° + 60° = 360°   

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS  
Clasificación según sus lados (a, b, c) Equilátero Todos los lados iguales a = b = c
Isósceles Un lado distinto Ejemplos:   a = b c
Escaleno Todos los lados desiguales
Clasificación según sus ángulos interiores () Acutángulo Tres ángulos agudos < 90°
Rectángulo Un ángulo recto Ejemplos:   = 90°
Obtusángulo Un ángulo obtuso Ejemplos:   > 90°
ELEMENTOS SECUNDARIOS DE UN TRIÁNGULO
ALTURAS (h)  
  • Un triángulo posee tres alturas ha , hb , hc. 

      

      

      

    La altura se obtiene al trazar una línea perpendicular desde el vértice al lado opuesto o a la prolongación de éste. 

      

      

      

    Las alturas concurren a un mismo punto llamado ortocentro (H)

    •
    Acutángulo 

    H (ortocentro se ubica dentro del )
     
    Rectángulo 

    H (ortocentro se ubica en vértice C)
     
    obtusángulo 

    H (ortocentro ubicado fuera del )
    TRANSVERSALES DE GRAVEDAD (t)  
    Una transversal de gravedad une un vértice con el punto medio del lado opuesto. 

      

    Concurren a un mismo punto, denominado centro de gravedad del triángulo (T) 

      

    T se ubica siempre dentro del triángulo. 

      

    En la transversal de gravedad se cumple: 
    Bisectriz (b)  
      Las bisectrices dividen cada ángulo interno por la mitad. 

      

    Todas las bisectrices concurren a un mismo punto que es el centro de una circunferencia inscrita. 

      

    Este punto se denomina inscentro. (P)
    Simetral (S)  
      Las simetrales son las perpendiculares trazadas en los puntos medios de los lados. 

      

    Las tres simetrales concurren a un punto que es el centro de la circunferencia circunscrita. A este punto se le denomina circunscentro. 
    Mediana   
         Las medianas unen los puntos medios de los lados. 

      

         Las áreas de cada triángulo parcial obtenido al trazar las medianas, son iguales y cuatro veces menor que el área del ABC. 

    Área(AFD=FBE=DFE=DEC) 

      

  • Cada mediana es paralela al lado opuesto. 

      

    Cada mediana mide la mitad de su lado opuesto, o cada lado mide el doble que su mediana paralela. 

       2

    • ÁREAS EN TRIÁNGULOS
    A : Área ; alturas : ha, hb, hc ; lados : a, b, c
    Fórmula general       

    Ejemplo 1: Calcular el área de un triángulo sabiendo que la altura en B es igual a 20 metros y la base  es 10 metros.
     

    Solución:  

       

    No se puede calcular el área con la información existente debido a que la altura (hb = 20 metros) y la base (c =  = 10 metros) conocida no son compatibles para el cálculo del área.  

    Ejemplo 2: Calcular el área de un ABC cuya altura en es igual a 3 metros y de base  = 5 metros. 

    Solución: 

     

    Reemplazando:  

     
     

     

    PERÍMETRO EN TRIÁNGULOS  
    P : Perímetro es la suma de todos sus lados. 

      

       P = a + b + c

     

    ÁREA Y PERÍMETRO EN TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS
    Área (A) , altura (h) , Perímetro (P)      P = 3a
    En un  equilátero coinciden las: alturas, bisectrices, transversales de gravedad y simetrales.

     

    TRIÁNGULO RECTÁNGULO  
    Área : A 

    Catetos : a y b 

    Hipotenusa : c 

    Perímetro : P
    Área de un triángulo rectángulo La fórmula de cálculo de área  también se puede expresar como: 

      

    Teorema de Pitágoras Este teorema relaciona todos los lados de un triángulo rectángulo. 

       a2 + b2 = c2

    Teorema de Euclides I a2 = cq   b2 = cp
    II hc2 = pq
    La altura (hc) también puede escribirse como: hc = 
    TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE INTERÉS 
    TEOREMA de Thales  
    Si un ángulo es cortado por paralelas, se originan segmentos proporcionales.
    Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente iguales y sus lados respectivamente proporcionados.

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