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MÓDULO Geometría Segmentos proporcionales en el triángulo rectángulo - Teorema de Euclides referente al cateto - Teorema de Euclides referente a la hipotenusa - Teorema de Pitágoras - Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo -
Segmentos proporcionales en el triángulo rectángulo En el DABC rectángulo en C de la figura:
Se pueden establecer las siguientes semejanzas: 1) De esta semejanza, se obtienen las siguientes proporciones:
2) De esta semejanza, se tiene:
3) De aquí se obtienen las proporciones:
Estas tres relaciones obtenidas corresponden al Teorema de Euclides.
Teorema de Euclides referente al cateto El cuadrado de un cateto equivale al producto del cateto por la proyección de él sobre la hipotenusa. a2 = pc b2 = qc
Teorema de Euclides referente a la hipotenusa El cuadrado de la altura equivale al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. h2 = pq Además de los teoremas anteriores, se puede obtener una relación para determinar la altura, a través de los lados del triángulo rectángulo: De 2) tenemos que: Por lo tanto, la altura equivale al producto de los catetos dividido por la hipotenusa.
Otro teorema importante en el triángulo rectángulo es el siguiente: El cuadrado de la hipotenusa equivale a la suma de los cuadrados de los catetos. c2 = a2 + b2 Este teorema lo podemos demostrar utilizando los teorema anteriores, como veremos a continuación: Por Euclides tenemos que: a2 = pc y b2 = qc, entonces a2 + b2 = pc+qc = c(p+q), pero p+q=c. Si reemplazamos obtenemos: a2+b2= c(p+q)=c . c = c2 Aplicaciones del Teorema de Pitágoras 1) Diagonal de un cuadrado La diagonal de un cuadrado equivale al
producto del lado por
Demostración: Utilizando el teorema de Pitágoras:
2) Altura de un triángulo equilátero La altura de un triángulo equilátero
equivale a la mitad del lado por
Demostración: En la figura, por ser un triángulo equilátero, la altura cae en el punto medio del lado opuesto. Ocupando el teorema de Pitágoras:
Ejemplo: En la figura, el polígono es un hexágono regular cuyo lado mide 12 cm. ¿Cuánto mide la superficie sombreada?
Cada uno de los triángulos sombreados corresponde a un triángulo equilátero de lado 12 cm. La altura, según la fórmula anterior, es:
El área de cada triángulo sombreado es:
Por lo tanto, el área sombreada es:
Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo Supongamos que tenemos los triángulos rectángulos ABC y DEF de la figura, que tienen un ángulo agudo a congruente.
Por el criterio (A,A) los triángulos son semejantes, por lo tanto:
Es decir, si se conoce uno de los ángulos agudos, la razón entre dos lados del triángulo rectángulo es constante. Debido a que la razón entre los lados es constante y depende exclusivamente del ángulo a, se definieron todas las razones posibles entre dos de los lados del triángulo rectángulo. Estas razones se denominan razones trigonométricas en el triángulo rectángulo y se definen de la siguiente forma: Sea el DABC, rectángulo en C de la figura:
Se definen las siguientes razones trigonométricas para el ángulo agudo a:
Propiedades de las razones trigonométricas Observa que las razones trigonométricas cumplen las siguientes propiedades:
Las propiedades 6 y 7 se llaman identidades pitagóricas y las demostraremos a continuación: Demostración de 6: En el DABC anterior, teníamos que:
Demostración de 7:
Observa que en ambas demostraciones ocupamos que a2 + b2 = c2, motivo por el cual ambas identidades se denominan identidades pitagóricas. Razones trigonométricas para ángulos de 30°, 45° y 60° Si consideramos un triángulo
rectángulo isósceles de cateto “a”, entonces la hipotenusa mide
Si en este triángulo calculamos las razones trigonométricas, obtenemos:
Para calcular las razones trigonométricas para los ángulos de 30° y 60°, ocuparemos el triángulo equilátero de la figura:
En el triángulo rectángulo, se cumple que:
Resumiendo, las razones trigonométricas sen, cos y tan para 30°, 45° y 60° son:
Aplicaciones de las razones trigonométricas en el cálculo de distancias Ejemplo: El poste de altura h está sujeto por una cuerda de longitud L con un ángulo de inclinación a. ¿Cuál es la altura del poste?
En el triángulo rectángulo de la figura se conoce la hipotenusa y se requiere calcular el cateto opuesto, por lo tanto, ocupamos la razón trigonométrica sen a:
Expresión que nos permite calcular la altura del poste, conocidos a y L. Ejemplo: Una escalera de 6 m. de largo se apoya en un muro vertical, con un ángulo de inclinación a. ¿A qué distancia se ubica la base de la escalera del muro?
En el triángulo rectángulo de la figura conocemos a, la hipotenusa y deseamos calcular el cateto adyacente a a. Utilizando la razón trigonométrica cos a, tenemos:
Por lo tanto, la distancia de la base de la escalera al muro es 6 . cos a.
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, por lo tanto,
cm2.
, por
lo tanto:
(ver diagonal de un cuadrado).
