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 La forma como se enuncia un problema afecta el desempeño de los estudiantes frente a una tarea relativa  a la actividad demostrativa, entendida ésta desde una perspectiva amplia y no solamente como la producción de justificaciones formales. Las situaciones que se presentan a los estudiantes conforman un componente fundamental del entorno de aprendizaje generado para implementar esta concepción amplia de demostración y en ellas, los enunciados son primordiales. La situación que ejemplifica la idea que se quiere comunicar se llevó a cabo con estudiantes que se preparan para ser profesores de matemáticas de escuelas secundarias en Colombia.

Introducción

 Con frecuencia escuchamos a los profesores de matemáticas de diversos niveles educativos, quejarse de las dificultades de los estudiantes para comprender qué es una demostración y cómo realizarla. Llega a tanto su desconcierto e incertidumbre sobre cómo abordar la problemática, que deciden reducir la actividad demostrativa en la clase de matemáticas lo más posible. Esta decisión no parece muy acertada pues entra en conflicto con el hecho de que la demostración es una de las actividades características del “hacer matemáticas”. Y, lo más preocupante es que la decisión se ha difundido de manera amplia en los currículos actuales de matemáticas escolares.

 n calidad de formadoras de profesores de matemáticas y con el ánimo de incidir en el rescate de la actividad demostrativa en el aula escolar, principalmente en la de geometría, estamos desarrollando una investigación cuyo propósito es aportar elementos para la caracterización de ambientes de aprendizaje, apoyados por la geometría dinámica, que promuevan una concepción amplia de demostración y propicien la actividad demostrativa.

 En esta comunicación nos referimos al enunciado de las tareas, asunto que ocupa nuestra atención de manera especial a la hora de diseñar situaciones de aprendizaje que propicien e impulsen la actividad demostrativa. Específicamente, damos cuenta de aspectos de la actividad de los estudiantes que fueron afectados por el enunciado de la tarea propuesta en una experiencia[1] que se llevó a cabo con estudiantes del espacio académico Geometría Plana, de la  Licenciatura en Matemáticas, en la Universidad Pedagógica Nacional de Bogotá, Colombia, durante el primer semestre lectivo de 2004. Para contextualizar la experiencia se presenta primero una síntesis de lo que cuenta para nosotros como actividad demostrativa y luego se describe someramente el entorno de aprendizaje generado al implementar tal concepción.

¿Qué entendemos por actividad demostrativa?

 Definir exclusivamente el papel de la demostración en términos de la validación de enunciados matemáticos es consecuente con una concepción restringida de demostración. Una concepción más amplia, con la que concordamos, acepta que la demostración tiene otras funciones además de la de validación. Al respecto, de Villiers (1993) ha identificado la demostración como medio de descubrimiento, de comunicación, de explicación y de sistematización; además, diversos investigadores señalan que a lo largo de la historia del desarrollo de las matemáticas se pueden encontrar evidencias de que la demostración ha cumplido otras funciones, hecho que puede sustentar el potencial didáctico de la actividad demostrativa en el contexto escolar; por ejemplo, Davis y Hersch, (1986, en de Villiers, 1993), afirman que en el caso de los matemáticos, no siempre la presentación sistemática de resultados se constituye en condición indispensable para estar convencidos de una afirmación y que, por el contrario, quizás la convicción es el motivo para buscar la producción de una justificación formal. En suma, de acuerdo con diversos autores (Bell, 1976; de Villiers, 1990, 1999; Hanna y Jahnke, 1996, citados en Hanna, 2001), afirmamos que proporcionar comprensión y conocimiento, y ser un recurso para la validación son dos propósitos de la demostración en matemáticas.

 Entendemos la demostración como una actividad que combina dos aspectos estrechamente relacionados: el proceso de demostrar y el producto de la demostración. El proceso incluye acciones propias de la heurística como visualizar, explorar, analizar, conjeturar y verificar siempre y cuando movilicen el razonamiento hacia la búsqueda de validación, den significado a la tarea de argumentar para aceptar afirmaciones y provean los elementos para  responsabilizarse de la verdad de dichas afirmaciones. El aspecto producto incluye acciones propias de la práctica de justificar, que movilizan el razonamiento argumentativo hacia la formulación de explicaciones, pruebas o presentaciones sistemáticas de resultados. El Cuadro No. 1 presenta una descripción esquemática de la actividad demostrativa

Ante un problema que despierte el interés, las acciones implicadas en el proceso de la demostración (ver parte superior del Cuadro No 1) activan el razonamiento, poniendo en juego conocimientos previos, ideas nuevas que surgen de la experiencia y argumentos de carácter diverso (e.g., empírico, constructivo, conjetural, analítico o deductivo) que permiten recopilar elementos o ideas para construir un discurso que genere una explicación, una prueba o la formulación de una producción sistemática de resultados, ante la necesidad de convencer a otros de la validez de un enunciado. De las acciones implicadas en el aspecto producto de la demostración, la que generalmente se identifica como demostración (ver esquina inferior derecha del Cuadro No 1) es tan sólo una de las formas de un producto argumentativo, quizás la más sofisticada, y a la que no necesariamente todos los estudiantes deben llegar. Si se tiene una visión restringida de la demostración y sólo se la concibe de esta manera, se restringe el universo de posibilidades de actividad matemática de nuestros alumnos.

 Al ligar acciones de carácter heurístico con la necesidad de producir explicaciones, pruebas o justificaciones sistemáticas, según el caso, se apunta a establecer un equilibrio entre las actividades propias de la lógica del descubrimiento, que están en estrecha relación con la forma como lo seres humanos aprenden, y la lógica de la validación, que está vinculada a la forma como avanza la construcción del universo matemático. En ese sentido, se apunta a un aspecto problemático de la didáctica, como es, atender a dos formas distintas de producción de conocimiento. Por un lado, si se atiende a la forma como procede la matemática, las actividades se centran en la construcción de sistemas axiomáticos que apuntan a aspectos estructurales de los conceptos y propiedades matemáticos, en donde el único recurso de validación es la producción de una cadena deductiva de proposiciones, que llevan de unos enunciados dados a aquel que se desea justificar. De otro lado, si se tiene en cuenta la cognición del estudiante, hay que pensar en actividades de inducción empírica que van de lo particular a lo general, pues esta forma de buscar regularidades es la que generalmente se usa cuando se busca organizar experiencias, estableciendo relaciones entre los conceptos y la realidad que reflejan, atribuyendo significado a los conceptos, según las experiencias que se han vivido, y justificando afirmaciones a partir de éstas, en donde los conceptos entran en juego.

 Un entorno favorable a la demostración

 La búsqueda de un ambiente de aprendizaje en el que se logre el equilibrio descrito, llevó a establecer en el aula de geometría, unas normas que permiten que estudiantes y profesor entren en una dinámica colectiva asociada a la demostración. Entre otros aspectos, las normas tienen que ver con que los alumnos:

            -     Establezcan acuerdos sobre los mecanismos de aceptación de afirmaciones.

-         Cuestionen las afirmaciones del profesor, de sus compañeros y del libro y busquen argumentos para admitirlas dentro del conjunto de ideas que el grupo ha asumido como ciertas, una vez se ha llegado a un consenso.

-         Asuman con responsabilidad la resolución de problemas, involucrándose personalmente en la búsqueda de estrategias de solución y vías de justificación.

-         Establezcan una anticipación inicial del resultado o solución de la tarea, fruto de su conocimiento previo y las experiencias que hayan tenido con los elementos que entran en juego.

-         Escriban la justificación, haciendo una presentación sistemática de resultados, en la que proporcionen afirmaciones y razones.

Se hace hincapié en la anticipación, pues creemos que constituye una estrategia didáctica importante, ya que no sólo obliga a una lectura con sentido del enunciado del problema sino que puede ser el motor que impulsa las acciones del proceso de la demostración. En tanto se invite de manera sistemática a los estudiantes a hacer uso de esta estrategia, ellos la irán convirtiendo en estrategia personal para el abordaje de situaciones y se apropiarán así de un instrumento poderoso para el trabajo con las ideas que se ponen en marcha al leer el enunciado.

 Las tareas que el profesor propone a los estudiantes son un componente fundamental del ambiente de aprendizaje favorable para la actividad demostrativa pues ellas delimitan de manera general las acciones que han de realizar los estudiantes; sin embargo, enunciados diferentes para una misma tarea pueden diferenciar de manera importante la actividad en la que terminan involucrándose los estudiantes. Ese es el punto que se pretende mostrar en esta ponencia.

 La tarea y cuatro versiones de su enunciado

 El contenido geométrico central en la tarea propuesta es el teorema de las bisectrices de ángulos que forman par lineal; y la tarea tenía como propósito generar una oportunidad para que los estudiantes descubrieran el hecho, lo enunciaran y lo justificaran. Cabe aclarar que además del enunciado de la situación se les dio a los estudiantes unas instrucciones en las que se les pedía anticipar la respuesta, formular el teorema una vez tuvieran la conjetura y elaborar la correspondiente justificación. La tarea está formulada en los ejercicios del cuarto capítulo del libro[2] que sirve de base en el curso para la construcción del sistema axiomático de la geometría euclidiana. En dicho capítulo se enuncian los postulados relativos a ángulos, se formulan las definiciones correspondientes y se trabajan los primeros resultados relativos a ángulos. En el momento de la formulación de la tarea, los estudiantes tenían conocimiento de los primeros postulados, estaban comenzando a conocer y manejar la calculadora con el programa de geometría dinámica, y  estaban asimilando lo que se esperaba que fuera su papel y el de la profesora en el ambiente de aprendizaje que se estaba estableciendo en el aula.

 El enunciado, tal como aparece en el libro, y que se constituyó en la versión 1 del enunciado,  aparece en la figura 1.

Imaginando varios experimentos que podrían llevarse a cabo para estudiar la variación de la medida del ángulo formado por las bisectrices de dos ángulos cualesquiera (o las rectas que las contienen) surgió una cuarta versión del enunciado, encaminada a dejar en libertad a los alumnos para explorar cualquier par de ángulos en relación con la condición de perpendicularidad de las bisectrices.

Cuando dimos por terminado el análisis para el diseño de la situación a implementar en la clase, decidimos aplicar las cuatro versiones del enunciado. Se distribuyeron los estudiantes del curso en grupos de tres o cuatro personas y a cada grupo se le entregó una de las versiones. En esta ponencia nos referimos al trabajo realizado por cuatro grupos (GA, GB, GC, GD) a los que se les asignó, respectivamente, las versiones 1, 2, 3 y 4.

Descripción general de la actividad demostrativa de los grupo de trabajo

 Para dar cuenta de lo que se anuncia en el título anterior usamos como fuente de información las transcripciones de las grabaciones de audio realizadas durante el trabajo de los grupos, las notas de campo de los observadores, y las producciones escritas de los grupos. La descripción se enfocará en cinco aspectos: la anticipación de la respuesta, las acciones relacionadas con el aspecto proceso de la actividad demostrativa, la formulación del teorema, las vías de construcción de la demostración, y el papel del software de geometría dinámica.

 Anticipación de la respuesta

Como parte de la lectura del enunciado, GA comienza a visualizar en la representación gráfica dada y, para interpretar el enunciado, GC recurre a hacer una representación gráfica de un caso particular; así, ninguno de esos grupos anticipa la respuesta. La anticipación de GB es “la medida del ángulo será máxima, si  está más cerquita a  y la de GD es “Los ángulos forman par lineal”.

 Acciones relacionadas con el aspecto proceso de la actividad demostrativa

En el Cuadro 2 se presenta un resumen de las acciones relacionadas con el proceso demostrativo de cada uno de los grupos y que fueron inducidas por el enunciado.

Formulación de un teorema a  demostrar

En el Cuadro 3 se presentan las formulaciones hechas por los grupos cuando se les pide que establezcan el teorema que hay detrás de la solución del problema planteado por la tarea.

Vías de construcción de la justificación

En el Cuadro 4 se presentan los elementos o los caminos seguidos por los grupos para llegar a tener una justificación del teorema.

Conclusiones

 A sabiendas de que el análisis hecho es incipiente, las descripciones logradas de la actividad demostrativa de los varios grupos nos deja entrever que efectivamente hay diferencias ocasionadas por el enunciado. Una de ellas, tiene que ver con la anticipación de  una respuesta: si el enunciado prácticamente insinúa la respuesta o si lo que se pide es hacer un estudio acerca de un asunto, tiene poco sentido explicitar la intuición que se pueda tener al respecto. Otra diferencia tiene que ver con la posibilidad de enunciar un teorema en el formato usual de la geometría: es natural que la respuesta al problema planteado sirva de referencia para formular el teorema y por consiguiente entre más “disfrazado” esté el hecho geométrico, más difícil será para el estudiante encontrar la esencia del mismo.

  Referencias

 de VILLIERS, M. (1993) . “El papel de la demostración en matemáticas”, Revista Epsilon. No. 26, traducido por José María Álvarez Falcón.

 Hanna, G. (2001). Proof, explanation and exploration: an overview. Educational Studies in Mathematics, 44, 5-23.